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重庆市南开中学高2022届高三下第6次月考第16题:三点共线定理
发布日期:2022-08-15 23:41    点击次数:169
明代王宠的书法不激不厉,行云流水,我看不进去;茨威格《昨日的世界》,文字美得像音乐,我也读不进去。此时,我只想起了王安石,“幽轩含气象,偏影落风尘”。春天的午后出去散步是一件十分惬意的事。我就在享受这种惬意。惬意之间是“三点共线”,平面几何的内容,迫不及待地要与你分享。平面几何是初中数学的核心,亦是高中平面向量和平面解析几何的载体,当然也是学习的难点。平面几何素来具有独特的魅力,那些优美的定理(梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理、蝴蝶定理等)闪烁着智慧的光芒。有人说,平面几何在高考中已无立足之地,只有在竞赛中才能大放异彩。这种说法纯属无稽之谈。平面几何从未淡出过高考舞台,只不过悄无声息,考了也没发现。

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第一空承担着两个任务,一是通过计算为第二空作准备;二是降低难度送分。对多数人而言,这个目的恐怕要落空,因为分数送得一点也不干脆。不少人因未能识别角平分线定理而无从下手,眼看着分数从指尖划过而黯然神伤。法1,正弦定理,这是最直接,也是最简洁的打开方式。法2,构造直角三角形,等腰三角形中作高是基本的手法。无论是法1还是法2,夜交藤登录网址都离不开角平分线定理,一旦发现,第一空如探囊取物。

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法1至法4,命题者的初衷——三点共线定理。这里的线条多,共线的点也多,随便选取即可,没有本质上的差别。法1至法3,我写得较为详细,轮番轰炸,目的在于模仿和加深印象。熟练之后便是法4的操作,直接而干脆。三点共线定理是平面向量基本定理的应用,是基底法的具体体现。所谓基本定理,就是平面向量的分解。如果两个基底互相垂直,那么就是正交分解,由此可得到直角坐标;如果基底不垂直,就是斜分解,得到的就是斜坐标。

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法5,解析法。解析法的诞生标志着几何跨入了新时代,并以十分惊人的速度向纵深发展。解析几何的创立打破了将近两千年僵局,笛卡尔和费马功不可没。法5,思路清晰,步骤严谨,很适合操作。然而解析法往往有个毛病,就是计算量不容小觑。不过这算不得什么,获得新工具所付出的代价是值得的,毕竟它能解决以往无法企及的难题。

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法6,几何法。我从来都不会鄙视,也不会抛弃几何法。事实上,我十分欣赏几何法。几何法中蕴含着大量的智慧,令人叹为观止。几何法的毛病就是构思精巧,当中的关卡并不一目了然,所以难度往往很大。不过一旦辅助线给力,便可势如破竹,一击得手。本题中涉及到三等分点,所以添平行线构造相似三角形自然而然。接下来便是线段的代换,纯属变形。法6的核心就是这条平行线DE,值得再次回眸。法7,梅涅劳斯定理。毫不夸张地说,法6已然包含了法7,而法7的证明就是法6。对小题而言,法7更直接,更快捷,也更能令人心动。梅氏定理的特点就是线段的比例关系,因此,它是处理线段之比的重要手段,也是证明三点共线的有力工具。相较法5,法6和法7所带来的冲击令人不安,原始的东西似乎更有效。这是一种错觉,这种错觉完全是因为本题的特点而产生,几何法恰好契合了这种量身定制。最后,让我们来重温一下本题所涉及到的两个工具。

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